Liên kết website
Thống kê truy cập
Hôm nay : 20
Tháng 11 : 624
Năm 2019 : 8.538
A- A A+ | Chia sẻ bài viết lên facebook Chia sẻ bài viết lên twitter Chia sẻ bài viết lên google+ Tăng tương phản Giảm tương phản

Sáng kiến của Hoàng Thị Thanh Hoa năm học 2015-2016

GIẢI BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

SÁNG KIẾN

GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN:

 1.Tên sáng kiến: Giải các bài toán về dãy số viết theo quy luật

 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn

3. Tác giả:

Họ và tên: Hoàng Thị Thanh Hoa - Nữ

Ngày sinh 22 tháng 02 năm 1981

Trình độ chuyên môn: Cao đẳng Sư phạm Toán

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Tân Lập – huyện Vũ Thư – tỉnh Thái Bình.

 Điện thoại : 01275923999 . Email: tmanhgiang@gmail.com

4. Đồng tác giả: Không

5. Chủ đầu tư: Không

6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị : Trường THCS Tân Lập

Địa chỉ : Thôn Bổng Điền Nam – xã Tân Lập – huyện Vũ Thư – tỉnh Thái Bình.    Điện thoại : 0363.825.165

8. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng 9 năm 2015.

                                  

 

 

 

 

 

BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1.Tên sáng kiến: Giải các bài toán về dãy số viết theo quy luật

2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn

3. Mô tả bản chất của sáng kiến

3.1 Tình trạng và giải pháp đã biết

Đối với những người làm công tác giáo dục trong nhà trường, đứng trước vận mệnh của đất nước trong tương lai đòi hỏi mỗi thầy cô giáo phải luôn cố gắng vươn lên bằng chính năng lực của mình và sự đổi mới không ngừng để bắt kịp với tình hình phát triển mới của giáo dục của đất nước góp phần thực hiện tốt nhiệm vụ giáo dục của mình trong sự nghiệp đổi mới giáo dục của đất nước.

Ngoài trau dồi phương pháp dạy học, người giáo viên phải trau dồi về kiến thức. Ngoài kiến thức trong sách giáo khoa thì người giáo viên phải phát triển kiến thức của mình để bắt nhịp với cuộc sống hiện tại và có kiến thức giảng dạy cho các em học sinh.

Là giáo viên dạy môn toán trong trường phổ thông, tôi ý thức được rằng. Toán học là môn học tự nhiên, nó có vai trò vô cùng quan trọng trong sự phát triển tư duy của con người, nó là chìa khoá để con người khám phá ra các lĩnh vực khác như tin học, vật lý, hoá học, y học.....

Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi nâng cao tay nghề, học hỏi đồng nghiệp và những người có kinh nghiệm. Tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn số học còn nhiều mảng kiến thức mà học sinh thêm hơn nữa như: Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, so sánh phân số, đặc biệt là bài toán tính giá trị của “Dãy số viết theo quy luật”. Đây là dạng bài toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6. Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này, học sinh còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số). Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài bài toán dạng sao (*), không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận dụng kiến thức của mình. Dạng toán  “Dãy số viết theo quy luật” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, đối với học sinh phải phân tích, phán xét, nhận dạng nhanh bài toán để đưa ra quy luật của dãy số. Trong thực tế giảng dạy tôi thấy một số giáo viên trong quá trình dạy chưa đảm bảo tính logic, chưa phân dạng, loại trong mỗi mạch kiến thức, trong phương pháp giải các bài toán nâng cao chưa hợp lí có những phương pháp giải chưa phù hợp với đặc điểm tâm lí và khr năng tiếp thu của học sinh. Giáo viên còn dạy theo kiểu áp đặt, truyền thụ một chiều. Các em học sinh còn làm dạng toán này một cách mò mẫm,  máy móc, theo kiểu áp dụng bài mẫu. Gặp bài toán nào quen dạng thì biết cách làm còn gặp dạng khác là không tìm ra quy luật. Mặt khác các em lại vừa từ tiểu học chuyển lên vẫn quen với cách học thụ động tiếp thu kiến thức mà không biết vận dụng linh hoạt trong các bài toán. Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra một số cách giải các bài toán theo quy luật từ bài toán cụ thể tìm ra công thức tổng quát và vận dụng công thức giải các bài toán có liên quan ở mỗi cấp độ khác nhau.

3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến

          a- Mục đích của giải pháp:

Mục đích chính của đề tài này là hướng dẫn cho học sinh biết phương pháp giải các bài toán viết theo quy luật đồng thời còn cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lý nhất

          b-Nội dung giải pháp:

1. Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luật của dãy số.

2. Từ việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể

3. Đưa ra bài toán tổng quát

4. Nêu ứng dụng của phương pháp

Ta sẽ bắt đầu giải và khai thác từ một bài toán sau đây

BÀI TOÁN: Thu gọn biểu thức

A = 20 + 21 + 22 + 23 + ....+ 22015 + 22016

         Ta tính như sau:

             _      2A = 21 + 22 + 23 + ....+ 22016 + 22017

                                   A = 20 + 21 + 22 + 23 + ....+ 22015 + 22016

                   A= 22017 - 1

Từ bài toán trên ta đặt câu hỏi:

Còn cách nào giải khác? Từ bài toán trên ta có thể liên hệ tới bài toán nào?

Nếu ta coi cách trên là  Cách 1

Cách 2:

A = 20 + 21 + 22 + 23 + ....+ 22015 + 22016

A = 1 + 2.( 20 + 21 + 22 + 23 + ....+ 22015 + 22016   -  22016 )

A = 1 + 2(A- 22016) = 1 + 2A - 22017

A= 22017 - 1

 

Từ đó ta hãy thu gọn A1:

A1= 20 - 21 + 22 - 23 + 24 - .... - 22015 + 22016

Cách 1:

A1= 20 - 21 + 22 - 23 + 24 - .... - 22015 + 22016

+

2A1= 21 - 22 + 23 - 24 +........ - 22016 + 22017

 

A1= 20 - 21 + 22 - 23 + 24 - .... - 22015 + 22016

2A1 + A1 = 3A1= 1 + 22017

A1 =

Cách 2: Áp dụng tính chất phân phối

A1= 20 - 21 + 22 - 23 + 24 - .... - 22015 + 22016

A1= 1 - 2 (20 - 21 + 22 - 23 + 24 ....+ 22014 - 22015  + 22016 -  22016)

A1= 1 - 2 (A1- 22016) =  1- 2A1  +  22017

3A1= 1 +22017

A1 =

Trong biểu thức trên các số ở mũ là các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2017

Nếu ta thay bởi các số tự nhiên cách đều thì ta có bài toán sau

Thu gọn biểu thức

A3 = 20 + 22 + 24 + 26 +.........+ 22016 + 22018

A4 = 20 -  25 + 210 - 215 + 220 - .......+ 22020

Thu gọn A3:

          A3 = 20 + 22 + 24 + 26 +.........+ 22016 + 22018

          A3 = 1 + 22(20 + 22 + 24 + 26 +.........+ 22014 + 22016 + 22018 -  22018)

          A3 = 1 + 22(A3 - 22018) = 1+22A3 - 22020

          (22 - 1) A3  =   22020 - 1  => A3

Thu gọn A4:

A4 = 20 -  25 + 210 - 215 + 220 - .......+ 22020

          25A4 = 25 - 210 + 215 - 220  + ......- 22020 + 22025

25A4 + A4 = 1+ 22025

A4 =

Không chỉ dừng lại ở số mũ 2020 mà ta có thể thực hiện được khi số mũ là n Số mũ không chỉ cách đều 2 và 5 đơn vị mà có thể cách đều k đơn vị

Ví dụ: Thu gọn

A5= 20 + 21 + 22 + 23 + 24 .....+ 2n - 1 +2n

A6= 2x + 2x+ +.......+2 + 2

(x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3 = .....= xn - xn-1 = k; x1, x2, x3, x4, xn-1, xn,

  Thu gọn A5

2A5 = 21 + 22 + 23 + 24 ....+ 2n-1 + 2n + 2n+1

2A5  -  A5 =2n+1 -  20

A5= 2n+1- 1

Thu gọn A6:       A6= 2x + 2x+ +.......+2 + 2

             2kA6 = 2+ 2+ 2 +.......+ 2+ 2

          2kA6 = 2x+ 2x + .....+ 2+ 2 = 2x + 2x+ + .....+2+ 2x - 2x

          2kA6 = 2x - 2x 

2kA6 =

Nếu ta thay các số tự nhiên ở mũ bởi các số nguyên âm ta có bài toán sau:

Thu gọn:

          A7=20 + 2-1+ 2-2+ 2-3+........... + 2-n

Cách1: Nhân hai vế của A7 với 2-1

          2-1 A7 =  2-1+2-2+2-3+........... + 2-n +2-n-1

          2-1 A7 = 20 +2-1+2-2+2-3+...........+2-n +2-n-1 - 20

          2-1 A7 = A7 +2-n-1 - 20

          A7= =

Cách 2:  Nhân hai vế của  A7  với 2

2A7 = 21 +20 + 2-1+2-2+2-3+........... +2-n-1

2A7 = 21 +(20 + 2-1+2-2+2-3+........... +2-n-1+2-n - 2-n)

          2A7 = 21+ A7- 2-n  ;  A7 =

Cách 3: Nhân hai vế của A7 với 2n ta có:

          2n A7 = 2o+21 +22 +23 +24...+2+2n = A5;      A7 =

Cách 4:

A7= 20 +2-1+2-2+2-3+........... +2-n

A7= 1++++......+

A7= 1+(1++++......+- )

A7= 1+( A7- ) = 1+ A7 -

A7 =

Cách 5: Nhân hai vế của A7 với

 A7= +++......+ +

    A7-  A7 = (1++++......+) - (+++......+ +

A7-  A7    =  1-

             A7 =

Cách 6: Ta chứng minh =   -       Với a = 2 ta có:

A7 = 1+  1-  +  -  +   -   +  -   ... +  -    

A7 =

Các bài toán trên ta sẽ thay thế các số mũ

* Nếu ta tiếp tục thay thế cơ số 2 bởi cơ số khác thì sẽ được các bài toán sau:

Thu gọn:

A8 = 30 + 31 +32 +33 +34...+3+3n

A9 = 70 + 71 +72 +73 +74...+7+7n

A10 = 101 +102 +103 +104...+10+10n

Aa = a+ a+ a+ .... + a+ a

(x2 - x1 = x3 - x2 = x4- x3 = ... = xn - xn-1  = k; x1, x2, x3, x4, xn-1, xn,

Ta thu gọn

 A9 = 70 + 71 +72 +73 +74...+7+7n

7A9 = 71 +72 +73 +74...+7+7n + 7

7A9- A9 = (71 +72 +73 +74...+7+7n + 7) - (70 + 71 +72 +73 +74...+7+7n)

6 A9  = 7- 1;       A9 =

Ta thu gọn A10:

10 A10 =  102 +103 + 104+105...+10+10n + 10

10 A10 - 10 A10  = (102 +103 + 104.... + 10+10n + 10) - (101 +102 +103 +104...+10+10n)

9 A10  = 10 - 101;          A10 =

Ta thu gọn

Aa = a+ a+ a+ .... + a+ a

(x2 - x1 = x3 - x2 = x4- x3 = ... = xn - xn-1  = k; x1, x2, x3, x4, xn-1, xn, )

Nhân hai vế với ak ta có::

          ak Aa = a+ a + a+....+ a+a

          ak Aa = a+ a+...+ a + a+ a

          ak Aa - Aa = (a+ a+...+ a + a+ a)-( a+ a+...+ a + a)

          (ak - 1)Aa = a - a

Aa =

Từ các bài toán trên ta nhận thấy:

       Với ((x2 - x1 = x3 - x2 = x4- x3 = ... = xn - xn-1  = k; x1, x2, x3, x4, xn-1, xn, )  ta luôn có:

Aa = a+ a+ a+ .... + a+ a =

Ta tiếp tục thu gọn các dãy sau

B = 9 +99 + 999 + 9999 + ......+ 999... 99       (n c/s 9 - n ch÷ sè 9; )

B = ( 101 - 1) + (102 - 1)+(103 - 1)+ (104 - 1) + .... (10 - 1)

B = 101 +102 +103 +104...+10+10- ( 1 + 1 + 1 + ... + 1)

                                                                        ( n số1)

B = A10 - n                                                    (A10 = )

          B =  - n

          B =

Thu gọn B1

B1= 1+11+111+1111+...+111.......1

                                            n chữ số 1

9B1 = B

B1 = .

Thu gọn  B7: Tương tự như thu gọn dãy B ở trên ta có

B7 = 7+77+777+7777+....+777.......7

                                             n chữ số 7

 B7 = B =

B7 = .

Từ đó ta thu gọn được dãy sau

Ba = a + aa + aaa + aaaa +.... + aaa...a             (; 1 <  a < 9)

 Ba = 9 + 99 + 999 + 9999 +....+ 999...9

                                                 n ch÷ sè 9

 Ba = B =

Ba = . ( ; 1 <  a < 9)

 

Với các bài toán trên, tôi tin tưởng rằng nếu học sinh được hướng dẫn và tiếp cận đầy đủ thì việc thu gọn dãy Aa và những bài toán liên quan đến dãy Aa trở nên đơn giản hơn nhiều

Với cách tìm ra quy luật như trên thì việc giải các bài toán thi HSG các năm, học sinh sẽ thực hiện được một cách dễ dàng. Ví dụ tính tổng của bài toán sau:

Bài toán : a/ Tính tổng      + ++++....+ +

Đặt A = + ++++....+ +

          A = + ++++.....++

Cách 1: Nhân hai vế của A với 2 rồi tính 2A- A

          2A = 1++ ++++.....+

2A - A = (1++ ++++.....+) - (+ ++++.....++)

          A = 1 - ;      A =  =

Cách 2: Nhân hai vế của A với  rồi lấy A- A

A = ++++.....+++

A - A = (+ ++++.....++) -   (++++.....+++)

A = -  =

          A =  =

Cách 3: Nhân hai vế với214 ta có

          214A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24+....+213

Ta tính: A1 = 20 + 21 + 22 + 23 + 24+.....+213

          A1 = 1+2(20 + 21 + 22 + 23 + 24+.....+212+213- 213)

A1= 1+2(A1- 213)

A1= 214 - 1

214A = A1=  214 - 1

A =  =

Cách 4: Áp dụng tính chất phân phối cho các số từ   đến

A= +(+ ++++.....++- )

A = +(A-)

A =  -  = ;     A =  =

Cách 5: Ta chứng minh được: =  

Với a = 2 ta có: A = 1 - +  -  +  - + - +....+ -

A= 1-

A =  = .................

CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202

2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2  + 2 6 3   

    b, S = 5 + 52 + 53  + ..... + 5 99   + 5100

        c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76

3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169

4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) ,        n = 1,2,3 ,....

5, S =

6, S =

7, A =

8, M =

9, Sn =

10, Sn =

11, Sn =

12, M = 9 + 99 + 999  +...... + 99..... .....9

                                             50 chữ số 9                             

13, Cho:    S1 = 1+2                                         S3 = 6+7+8+9

                  S2 = 3+4+5                                               S4 = 10 +11 +12 +13 + 14

    Tính S100  =?

    Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :

14,  a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070

       b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x =  820

       c, 1 +

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan

15, Chứng minh : a,   A = 4+ 22 +23 +24  +..... + 220 là luỹ thừa của 2

                             b,   B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60   3 ; 7; 15

                             c,  C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991  13 ;  41

                            d,  D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1    5

16, Tính

a)           

b)

c)           

d)

17, Tính:

a)                

b)

c)

18, Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:

a)                  

b)

c)

19, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:

a)

b)

20, Chứng minh rằng với mọi  ta có:

21, Cho  chứng minh:                    

22,     Cho dãy số :

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy

b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.

23,     Cho . Chứng minh

24,     Cho . Chứng minh:

25,     Cho . Chứng minh:

26,     Cho . Chứng minh:

27,     Cho . Chứng minh:

28,     Cho . Chứng minh:

29, Cho . Chứng minh:

30, Cho . Tìm phần nguyên của B.

31,     Cho . Chứng minh C > 48

32,     Cho . Chứng minh

33,     Cho . Chứng minh 97 < N < 98.

3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp:

          Những bài toán với mục đích là thu gọn các dãy số mang tính quy luật trong tập hợp số tự nhiên, số nguyên hay phân số giúp các em tìm ra cách giải phát huy được tư duy thông qua việc tổng quát hóa. Từ đó giúp các em hiểu sâu hơn, nhớ lâu hơn kiến thức, biết vận dụng linh hoạt kiến thức đã học, tìm ra quy luật giải bài tập đồng thời phát huy năng lục tư duy, năng lực giải quyết vấn đề. Phương pháp này có khả năng áp dụng với mọi đối tượng học sinh thuộc các khối 6, 7 ở các trường THCS. Tuy nhiên hiệu quả của phương pháp còn phụ thuộc vào thực tế của từng trường, từng giáo viên trong cách truyền tải, hướng dẫn, luyện tập và đối tượng học sinh tiếp thu vận dụng thì hiệu quả mới cao.

3.4-  Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp.

   -      Sau một năm kiên trì, hướng dẫn luyện tập và tìm ra nhiều bài toán khác nhau với dạng áp dụng quy luật, tôi nhận thấy đội tuyển toán 6 của trường THCS Tân Lập trong việc giải các bài toán áp dụng quy luật có những kết quả nhất định góp phần nâng cao chất lượng trong quá trình làm các đề khảo sát học sinh giỏi.

          Các em có phương pháp, kỹ năng thực hiện các dạng toán này với cách vận dụng các bài toán tổng quát đã được hướng dẫn để làm các bài toán phức tạp với các cách giải ngắn gọn, khoa học và chính xác.

          Các em còn có thể hướng dẫn các bạn trong lớp các bài toán quy luật mức độ đơn giản phù hợp với học sinh đại trà một cách tự tin và thích thú.

          Khi trong các đề thi học sinh giỏi có các loại toán này, các em đã tự tin và phấn khởi thực hiện không còn tình trạng né tránh như trước kia

          Trong quá trình ôn luyện tôi thường xuyên đưa ra các bài toán ở các dạng quy luật khác nhau để các em nắm một cách vững chắc có tính chất thường xuyên, liên tục nên hạn chế được cơ bản việc tìm sai quy luật của bài toán. Sau khi khảo sát đội tuyển và cả các em học sinh khá của lớp, kết quả rất khả quan:

                   + 100% các em học sinh giỏi đạt điểm theo yêu cầu

                   + 60% các em học sinh khá đạt điểm theo yêu cầu

          Đối với tập thể giáo viên trong tổ khoa học tự nhiên đều thấy được phương pháp trên là rất tối ưu và được triển khai, áp dụng thành chuyên đề để các đồng nghiệp vận dụng linh hoạt trong giảng dạy của mình.

          Về mặt kinh tế do sáng kiến này mang lại:  Phương pháp này giúp giáo viên và học sinh tiết kiệm được thời gian, công sức mà hiệu quả mà thể hiện rất rõ ràng qua các kì  khảo sát học sinh giỏi.

          Về mặt xã hội do sáng kiến mang lại:   

            +  Sáng kiến  này có ý nghĩa rất lớn với học sinh nó làm cho các em cảm thấy yêu thích môn toán và không thấy sự khô khan trong toán học. Có tác dụng không chỉ đối với giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi mà còn có tác dụng với giáo viên dạy toán nói chung..

           + Sáng kiến đã tìm được các giải pháp phù hợp có hiệu quả việc giải các bài toán viết theo quy luật..

3.5 Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu:

(Các em HSG khối 6 trường THCS Tân Lập năm học 2015-2016)

3.6 Các thông tin cần được bảo mật : (Không có)

3.7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

Về trình độ chuyên môn: Tốt nghiệp Cao đẳng sư phạm trở lên.

Về tài liệu: Các sách tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi

3.8 Tài liệu kèm ( Không có)

4. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền

          Tôi xin cam kết những nội dung trình bày trong sáng kiến là những suy nghĩ và việc làm của tôi và đã áp dụng vào trong thực tế trong việc bồi giỏi môn Toán cho học sinh khối 6 tại trường THCS Tân Lập từ tháng 9 năm 2015 đến nay.

 

CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

(Xác nhận)

(Kí tên, đóng dấu)

 

Tân Lập, ngày 10 tháng 4 năm 2016

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

 

 

 

 

 

Hoàng Thị Thanh Hoa

 

 

 

 

Tác giả: HOÀNG THỊ THANH HOA

Tập tin đính kèm
Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết
Bài viết liên quan
Video Clip
Văn bản mới
Tài liệu mới